Да, должен! Конечно, нужно трезво оценивать возраст, умения и понимание ответственности ребенка. Требовать от дошкольника или младшего школьника полностью взять на себя ответственность за другое существо невозможно. Но постепенно приучать ребенка заботиться о питомце — это отличный педагогический прием.  

Дети учатся понимать, что такое доброта, забота, уход, трудности и ответственность.

А еще воспитательный элемент, особенно актуальный для школьников — это понимание важности режима.

В случае с собакой значимость режима очевидна — животное нужно выгуливать, потом сразу же мыть лапы, кормить. Но и другие виды домашних животных требуют регулярного ухода: их нужно вовремя кормить, постоянно менять воду, убирать клетку или лоток.  

У ребенка нет такого опыта, поэтому ему надо помочь. Вместе узнайте у продавца животного, как правильно за ним ухаживать. Сходите на первый осмотр к ветеринарному врачу и запишите все рекомендации.

Далее делегируйте часть обязанностей ребенку. Важно делать это постепенно и не перегружать. Например, первую неделю вы вместе кормите животного, вторую неделю за этим следит ребенок уже самостоятельно. 

Можно завести блокнот, в котором ребенок будет отмечать важные дела - например, генеральная уборка домика животного, ведение календаря прививок, запись на профилактический визит к ветеринарному врачу и так далее. 

Что-то может пойти не так - ребенок устанет, забудет выгулять или покормить животное.

Не давайте резкие оценки, в начале нового дела всегда не все идеально и это нормально.

Не будьте чересчур требовательны, но и не берите все в свои руки. Оставьте тему открытой для обсуждения.

Не отказывайтесь слушать то, что говорит ребенок, дайте ему высказать свое мнение и всегда будьте готовы ответить на любые вопросы. Обсуждайте обязанности, прописывайте договоры и правила, меняйте их по мере необходимости.

Помните, что даже если ребенок отказывается ухаживать за животным, вы все равно несете прямую ответственность за здоровье и уход за новым питомцем. Собственно, это еще один урок, который вы сможете дать ребенку своим личным примером. 

Здоровое питание домашнего животного — это тоже важная ответственность. Можно изучить базовые правила выбора корма вместе с маленьким хозяином:  

1. Вкусовые предпочтения животных и людей очень сильно отличаются и при выборе корма не опираться на собственные вкусы.  
2. Корм должен соответствовать возрасту, размеру, породе, состоянию здоровья и образу жизни питомца.
3. Важно проконсультироваться с ветеринарным врачом о том, как часто и как много нужно кормить животное. Также важно уточнить как меняется качество и объем корма с возрастом и что еще может влиять на необходимость смены корма.
4. Покупать корм только у проверенных производителей, в специализированных магазинах и проверять, чтобы не была повреждена упаковка. Не покупать корм на развес.